Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional Beserta Contoh dan Sifat-sifatnya

Pernahkah kamu mempelajari materi mengenai klasifikasi bilangan? Dalam pengelompokan tersebut terdapat jenis bilangan real. Bilangan real merupakan salah satu bilangan yang dapat dibagi ke dalam dua kelompok, yaitu kelompok rasional dan irasional. Untuk lebih jelasnya, simak pembahasan mengenai bilangan rasional dan irasional dibawah ini.

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional dan irasional merupakan dua jenis bilangan yang masih bagian dari sistem bilangan real (ℝ). Adapun penjelasan mengenai pengertian, sifat, dan contohnya.

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. Bilangan rasional dapat disebut juga sebagai bilangan pecahan.

Dalam bilangan rasional bentuk a/b, a melambangkan pembilang dan b sebagai penyebut bilangan rasional.

Bagaimana jika nilai b = 0?

Jika suatu bilangan pecahan penyebutnya bernilai ), seperti 1/0, 2/0, 3/0, dan lainnya, maka bilangan pecahan atau rasional tersebut tidak teredefinisi.

Bilangan rasional juga dapat dibagi menjadi beberapa kelompok bilangan seperti bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, dan kelompok bilangan lainnya yang  menjadi bagian dari bilangan rasional.

Contoh Bilangan Rasional

Bilangan 1,2 termasuk dalam bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan pecahan.

1, 2 dapat dinyatakn dalam bentuk pecahan 12/10, 6/5, atau bentuk pecahan lainnya yang memenuhi a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0. Sehingga 1,2 termasuk dalam bilangan rasional.

Dalam bilangan rasional atau pecahan juga terdapat operasi bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan oeprasi bilangan lainnya.

Adapaun beberapa operasi bilangan tersebut dituliskan seperti dibawah ini.

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

a/b – c/d = (ad – bc)/bd

a/b x c/d = ac/bd

a/b : c/d = ad/bc

-(a/b) = -a/b = a/(-b)

(a/b)-1 = b/a dengan a ≠ 0.

Sifat-sifat  Bilangan Rasional

Bilangan rasional dapat didefinisikan setiap a/b, c/d, dan e/f merupakan bilangan rasional dalam bentuk pecahan. Maka berlaku sifat-sifat seperti berikut:

1. Dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b  ≠ 0.

2. Tertutup terhadap operasi bilangan penjumlahan dan perkalian (penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional juga menghasilkan bilangan rasional.)

a/b + c/d (menghasilkan bilangan rasional)

a/b x c/d (menghasilkan bilangan rasional)

3. Komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

a/b + c/d = c/d + a/b

a/b x c/d = c/d x a/b

4. Asosiatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

(a/b + c/d) + e/f = a/b  + (c/d + e/f)

(a/b x c/d) x e/f = a/b  x (c/d x e/f)

5. Distributif

a/b x (c/d + e/f) = a/b x c/d + a/b x e/f

6. Memiliki identitas penjumlahan dan perkalian

Bentuk 0/1 adalah elemen penjumlahan bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional dijumlahkan dengan 0/1 hasilnya adalah x bilangan rasional itu sendiri.

a/b + 0/1 = 0/1 + a/b = a/b

Bentuk 1/1 adalah elemen perkalian bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dikalika  dengan 1/1 hasilnya adalah x bilangan rasional itu sendiri.

a/b x 1/1 = 1/1 x a/b = a/b

7. Setiap elemen memiliki invers terhadap oerasi penjumlahan dan perkalian. Setiap invers bilangan yang dioperasikan dengan invers menghasilkan elemen identitas.

Bentuk -a/b adalah invers penjumlahan untuk setiap bilangan rasional a/b, sehingga berlaku persamaan sebagai berikut:

a/b + -a/b = -a/b + a/b = 0/1

Bentuk b/a adalah invers perkalian untuk setiap bilangan rasional a/b ≠ 0, sehingga berlaku persamaan sebagai berikut:

a/b x b/a = b/a x a/b = 1/1

8. Dapat dikalikan dengan 0 ( perkalian bilangan rasional dengan 0 menghasilkan 0.

a/b x 0/1 = 0/1

9. Memiliki bentuk bentuk desimal berulang.

Contoh: 

1 = 1,0000000 ...

1/3 = 0,333333 ...

12/11= 1,090909 ...

13/3 = 4,333333 ...

Bilangan Irasional

Selain bilangan rasional, dalam bilangan real juga terdapat bilangan irasional. Bilangan irasional adalah suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dan b  ≠ 0. Namun dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.

Contoh Bilangan Irasional

Seperti yang telah dijelaskan bahwa bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.

Contoh bilangan irasional yaitu bilangan √2, π, dan e.

Mengapa bilangan √2 adalah bilangan irasional?

Jika dihitung dengan menggunakan bantuan alat hitung, nilai dari √2 adalah 1,414213562373095048801688724… yang mana bilangan desimal tersebut tidak berulang dan tak terhingga banyaknya angka di belakang koma.

Namun, tidak semua bilangan dalam bentuk akar (√) adalah bilangan irasional. Misalnya √4 dan √9. nilai dari √4 adalah 2 dan √9 adalah 3yang merupakan bilangan bultat.

Bilangan π (jari-jari). Bilangan π = 3,14 atau π = 22/7 sebenarnya penggunaannya belum tepat karena nilai π yang sebenernya adalah 3,141592653589793…

Penggunaan nilai π = 3,14 atau 22/7 merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional.

Bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818…

Sifat-sifat Bilangan Irasional

Secara umum bilangan irasional mempunyai sifat adalah sebagai berikut:

1. Tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0

2. Memenuhi sifat komutatif penjumlahan dan perkalian

Sifat komutatif penjumlahan:

a + b = b + a

Sifat Komutatif Perkalian:

a × b = b × a

3. Memenuhi sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian

Sifat asosiatif penjumlahan:

(a + b) + c = a + (b + c)

Sifat asosiatif perkalian:

(a × b) × c = a × (b × c)

4. Memenuhi sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan

Sifat distributif terhadap penjumlahan:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Sifat distributif terhadap pengurangan:

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

5. Punya elemen identitas

Contoh: suatu bilangan irasional √2 memenuhi

Identitas penjumlahan

√2 + 0 = √2

Identitas perkalian

√2 × 1 = √2

6. Setiap Elemen Punya Invers

Invers bilangan irasional suatu bilangan dapat dihitung berdasarkan konsep pecahan, perlu dicatat bentuk pecahan a/b bilangan irasional "tidak memenuhi" a dan b = bulat. Perlu diketahui suatu bilangan yang dioperasikan dengan suatu operasi dengan inversnya menghasilkan elemen identitas operasi yang digunakan.

Contoh:

Π adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai Π/1.

Maka invers perkalian dari Π adalah 1/Π

Maka invers penjumlahan dari Π adalah -Π

√3 adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai √3/1.

Maka invers perkalian dari √3 adalah 1/√3

Maka invers penjumlahan dari √3 adalah -√3

7. Operasi Perkalian dengan 0 (nol) menghasilkan 0 (nol).

8. Tidak mempunyai bentuk desimal berulang

Contoh:

√2=1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831... 

Hingga digit ke-2 juta, pola berulang dari √2 belum juga ditemukan.

Perhitungan dilakukan oleh Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) dan diperiksa oleh Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center).

9. Memiliki bentuk akar tidak sempurna dengan hasil desimal tidak berulang.

Bentuk akar tidak sempurna merupakan bentuk akar yang menghasilkan nilai tidak bulat.

Contoh:

√2 = 1.4142135...

√3 = 1.7320508... 

√5 = 2.236067...

10. Bersifat tidak tertutup

Sifat tidak tertutup pada bilangan irasional disebabkan karena operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan irasional menghasilkan bilangan rasional.

Contoh:

√2 × √2 = √4 = 2 (hasil rasional)

√2 × √3 = √6  (hasil tetap irasional)

Demikianlah pembahasan mengenai bilangan rasional dan bilangan irasional beserta contoh dan sifat-sifatnya. Terima kasih, semoga bermanfaat.

Referensi:

Artikel berjudul "Pengertian Bilanagan Rasional dan Irasional serta contohnya" diakses pada 09 Januari 2022, dari https://www.advernesia.com/blog/matematika/bilangan-rasional-dan-irasional/